Fractales

¿En qué se parece un helecho, la costa y un copo de nieve? $El conjunto de Mandelbrot, un fractal famoso$
Los tres son elementos de la naturaleza. Y los tres, con sus complicadas formas y repeticiones, parecen fractales. Y si estas pensando, qué rayos es un fractal, te sorprenderás con estas fascinantes estructuras que parecen más sacadas de un libro de arte que de uno de matemáticas.

Los fractales son figuras geométricas, al igual que los triangulos y los rectágulos, pero con unas propiedades especiales que los distiguen de éstos. Primero, son muy complejos, a cualquier tamaño. Tienen autosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes que son copias reducidas del total. Su dimensión es una fracción a diferencia de otras figuras geométricas.

Los fractales frecuentemente lucen como objetos de la naturaleza. Muchos objetos naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fractales. No son fractales auténticos pues su complejidad no es infinita.

Una cosa interesante de los fractales es que su estudio es nuevo. Muchas áreas de las matemáticas son basadas en conocimiento antiguo. La geometría, por ejemplo, la inventó Euclídes en el año 300 AC. Los fractales, por el contrario, están siendo estudiados e investigados en la actualidad.

¿Para que sirven
los fractales?
Uno de los usos más populares es en las artes. Utilizando una programación especial en la computadora se pueden crear increíbles obras de arte. También está muy de moda la música fractal. Hay muchos lugares en la Internet con muestras de imágenes fractales y de piezas musicales.

Pero su uso no se limita a las artes. Tanto en la geología, como en la Biología y la Ingeniería, se están empleando debido a que pueden describir patrones naturales complejos. Los fractales dan un marco teórico en el desarrollo de simulaciones de fenómenos naturales.

¿Cómo se hace una
imagen fractal?
Hay muchas maneras, y una de ellas es con la repetición constante de un cálculo simple. En eso las computadoras han venido a ser muy útiles. Con el software adecuado, se pueden generar imágenes fractales repitiendo un patrón fijo. Si quieres divertirte un poco, intenta construir el copo de nieve de Koch. Necesitas un compás y una regla.

Con una regla dibuja una línea de 6 pulgadas.
Usa la regla para separar la línea en tres segmentos iguales.
Abre un compas a un ancho de 2 pulgadas, o sea el tamaño de cada segmento. Colócalo en un extremo del segmento y dibuja un arco. Luego en el otro extremo dibuja otro arco. Dibuja un triángulo a partir del punto donde los arcos se cruzan. Borra la base del triángulo.
Repite el proceso en los dos lados del triángulo. (Divide cada lado en tres segmentos y construye un triángulo en el segmento del medio, sin olvidar borrar la base.)
Repite nuevamente el proceso en cada triángulo.

El copo de nieve de Koch

Sabías que ...
La palabra fractal fue usada por primera vez hace menos de 20 años, por el matemático polaco Benoit Mandelbrot en su trabajo La geometría fractal de la naturaleza Derivó la palabra del verbo latín fractus, que significa romper en fragmentos irregulares.

Enlaces

Diario fractal - Galeria de imágenes e información sobre el mundo científico y artístico de los fractales. En español.

Fract art - Con explicaciones sencillas, en este lugar se presenta los distintos tipos de fractales y como hacerlos. En español.

Galeria de fractales Imágenes impresionantes de fractales.

Sobre la dimensión fraccionaria

Una característica importante de los fractales es que tienen dimensión fraccionada. Para que entiendas mejor lo que significa, quizás te convenga recordar tu clase de geometría:

Un punto no tiene ninguna dimensión. (D=0)
Una línea recta posee una dimensión, el largo. (D=1)
Una figura plana, como un rectángulo o un triángulo tiene dos dimensiones, largo y ancho. (D=2)
Las figuras tridimensionales, como los cubos y esferas, tienen como su nombre lo dice, tres dimensiones, largo, ancho y profundidad. (D=3)

En el caso de los fractales, la dimensión no es un entero, sino una fracción, como por ejemplo D=2.5.